Direttamente dal blog del Prof. Vincenzo Zappalà una serie di articoli su alcuni dei più importanti concetti di Matematica e Fisica, selezionati per voi
Grazie alla preziosissima disponibilità del Prof. Vincenzo Zappalà possiamo segnalare agli studenti e agli amici del Progetto Polaris una serie di articoli di grande valore didattico e divulgativo, concepiti proprio per rendere comprensibili a tutti i più intriganti ed affascinanti concetti cardine della Matematica e della Fisica.
Matematica
Zero e Infinito - Ho cercato il modo migliore per introdurre due numeri
(o-meglio-concetti) fondamentali per la matematica, la geometria e
la fisica. Ho trovato varie possibilità, anzi potrei dire che ne ho
trovato infinite. E, allora, mi sono fermato se no rischiavo di
mordermi la coda (che non ho… ve lo giuro!). Ho quindi deciso di
agire a modo mio. L’importante è che alla fine si riesca a
comprendere con chi abbiamo a che fare.
Zero e Infinito si incontrano e si sommano * - Abbiamo introdotto i concetti geometrici di zero e infinito. Possiamo ora trasportarli lentamente nel mondo della matematica attraverso le operazioni più semplici che essi possono eseguire tra di loro e con numeri qualsiasi. Insomma, facciamoli entrare nel mondo di tutti i giorni.
Zero e infinito: le cose si complicano ** - Proviamo ad affrontare operazioni un po’ più difficili, addirittura la moltiplicazione, la divisione e l’elevamento a potenza! No, non ridete. Quando si maneggiano numeri “strani” come infinito e zero le cose non sono mai semplici e regalano molte sorprese. Anzi ci porteranno davanti a un muro che ci obbligherà ad accettare un nuovo approccio.
Caro Big Bang … sei proprio un tipo singolare! *** - Un mix di nozioni che vanno dalla rappresentazione geometrica di un binario ferroviario a quella “leggermente” più complicata di un Universo in espansione. In comune vi è un punto, che nel primo caso possiamo chiamare punto all’infinito, nell’altro caso Big Bang (anche se quest’ultimo si trova in una posizione temporale ben definita). Quest’articolo, un po’ strano, ci permette di capire meglio il piano ampliato e la natura di un punto singolare. Ci serve anche per vedere che eccezionale applicazione pratica viene fornita da una matematica a prima vista astratta e -forse- visionaria. Insomma, Alice è tornata tra di noi.
Sistemiamo la rete ferroviaria * - Dopo esserci lanciati nelle strane piroette compiute da zero e infinito nel cercare di eseguire, tra di loro, le operazioni aritmetiche di base ed esserci accorti che non sempre tutto risulta banale e scontato (anzi…), facciamo un grande passo indietro. Abbiamo imparato a conoscere questi due concetti e/o punti e/o numeri così particolari. Ora possiamo cominciare proprio dall’inizio. Per far ciò costruiamo una rete ferroviaria di riferimento. E ci vorrà molto prima di lasciarla… I primi articoli di questo tipo saranno fin troppo banali per chi ha studiato analisi matematica. Vi prego di avere pazienza… e poi c’è sempre qualcosa da imparare, quando si parla di geometria e di matematica.
Uno più uno fa due… oppure no? *** - Mentre andiamo avanti con la matematica e con i concetti un po’ astrusi di zero e infinito, vorrei tenervi “svegli” e proporvi qualche piccolo gioco di prestigio. Il primo si riferisce a una delle somme più facili che esistano, uno più uno, il cui risultato è probabilmente conosciuto anche dai bambini dell’asilo. Ma siamo proprio sicuri che sia così? Ah… questa matematica, ci riesce a sorprendere sempre!
Prodotti degni di nota, anzi … notevoli - Questo articolo è, in realtà, un piccolo libro o manuale che dir si voglia. Cerca di sintetizzare l’algebra che può essere più utile per affrontare i problemi dell’analisi matematica, ossia studio di funzioni, limiti e derivate. Probabilmente ho dimenticato qualcosa. Tocca a voi farmelo presente e incitarmi a spiegare meglio certe parti. E’ difficile distinguere ciò che è ovvio per tutti da quello che, invece, non lo è. Non pretendete, però, che descriva tutta l’algebra. Ci vorrebbe davvero un libro… non esageriamo!
Nuove stazioni unite fra loro * - Ci siamo costruiti un sistema di riferimento semplice e utilissimo. Vedremo subito come utilizzarlo. Prima inseriremo nuove stazioni un po’ dappertutto e, chiamandole con le loro coordinate, sapremo trovarle immediatamente. Poi inizieremo a costruire monorotaie sempre più complicate. La matematica diventerà l’unico linguaggio in grado di aiutarci nella loro “sistemazione” nella rete ferroviaria, ossia nel piano del foglio.
Le funzioni funzionano? ** - E’ giunta l’ora di introdurre le prime funzioni. Cominceremo dalla più semplice, ma vedrete che sarà più che sufficiente per farci chiacchierare molto a lungo e per capire meglio il concetto di infinito.
Pendenze e angoli: viva la trigonometria! ** - Qualcuna/o dirà: “No… aiuto! La trigonometria no… non l’ho mai digerita!”. Mi spiace per lei/lui, ma non possiamo farne a meno. E poi perché tanta paura? Anche lei nasce molto facilmente dal celebre triangolo rettangolo tanto caro a Pitagora e permette di capire il significato più profondo di certi numeri che sembrano essere solo numeri, ma che sono, invece, qualcosa di ben più importante. Chiedetelo alla cinematica, alla dinamica e a tutta la fisica…
C’è punto e punto ** - La definizione di punto non ci lascia più scampo. Affidiamoci alle mani amorevolmente “matematiche” del limite. E non spaventiamoci se sono necessarie molte parole per descrivere ciò che la matematica sa riassumere in una semplicissima scrittura.
Un Achille e una tartaruga veramente matematici *** - Un’appendice alla gara di Achille e della tartaruga. Cerchiamo, infatti, di risolvere la questione in modo puramente matematico (nonché geometrico) in modo da rendere giustizia alla visione fisica che Zenone aveva cercato di nascondere sapientemente.
Il limite è veramente importante? *** - Ho inserito tre asterischi in questo articolo (o lezione). Non spaventatevi, però. Esso non contiene formule difficili o passaggi acrobatici. Il fatto è che richiede concentrazione per capire esattamente il concetto di limite e le sue applicazioni. Non leggetelo, perciò, velocemente, ma cercate di entrare dentro il mondo di Achille e della tartaruga, facendolo veramente vostro.
Arrivano le forme indeterminate ** - Finalmente ci siamo. Non illudetevi troppo, però. Se ormai siamo in grado di risolvere tutti i casi trattati all’inizio, dobbiamo ancora aspettare perché ci mancano le funzioni in grado di produrli. Limitiamoci, quindi, ai tre casi più importanti e più comuni.
Logaritmi a gogò ** - Iniziamo con una funzione che dovrebbe essere ben nota a tutti gli appassionati di astronomia, dato che si lega strettamente alle magnitudini stellari. La sua importanza è, però, decisamente superiore e il suo utilizzo vastissimo in tutti i campi della Scienza. Introdurremo quello in base 10, ma in seguito conosceremo anche quello che ha per base uno dei “magici” numeri della matematica.
Le coniche… che funzioni! (prima parte) * - Volevo solo “sfiorare” le coniche, considerandole come altre funzioni che impareremo a studiare nei dettagli. Tuttavia, la loro enorme importanza mi ha bloccato e convinto che meritano qualcosa di più. L’articolo è diventato chilometrico, per cui lo divido in cinque parti. Non solo matematica, ma anche tanta geometria. Cominciamo… affettando un cono con un coltello molto affilato.
Le coniche… che funzioni! (seconda parte) ** - Dopo aver fatto il lavoro dei “salumai”, affettando un salame conico, vediamo di analizzare un po’ meglio le “fette” che abbiamo ottenuto. Introduciamo anche la matematica e troviamo nuovamente le nostre care funzioni. Cominciamo con l’ellisse e la sua figlia prediletta, la circonferenza.
Le coniche… che funzioni! (terza parte) ** - Abbiamo descritto la conica che rappresenta una curva chiusa e che ha come caso particolare la circonferenza. Manovrando il piano-coltello si arriva a un punto critico: quello in cui la curva si apre e diventa una parabola. Un caso limite anch’esso, ma altrettanto importante.
Le coniche… che funzioni! (quarta parte) *** - Lo ammetto: questa parte è abbastanza lunga e pesante. Inoltre, necessita di grande attenzione e riflessione. Cercate di seguirla con calma senza farvi prendere dalla noia o dall’ansia di arrivare alla fine. L’iperbole è troppo importante in fisica per “snobbarla”. Se riuscite a seguire tutti i passaggi, siete già a buon punto per considerarvi matematici “abbastanza” esperti.
Fisica
Le recondite armonie delle risonanze ** - Sarà perché è Natale o
perché la meccanica celeste mi ha sempre affascinato, fatto sta che
vorrei parlare del misterioso mondo delle risonanze orbitali. Esse
sono figlie di una madre potente e illimitata: la forza di gravità.
Eppure, riescono a lanciare segnali e informazioni, a cambiare
drasticamente la Natura, attraverso silenziose azioni apparentemente
trascurabili. Se la gravità è un suono assordante e immutabile, le
risonanze sono una musica di sottofondo, una ricerca di equilibri e
sfaccettature, degna di un grande compositore. Facciamo silenzio e
cerchiamo di udire queste “recondite armonie”, anche se la loro
spiegazione accurata va oltre i limiti di questo nostro gruppo di
amici. Comunque, non abbiate timore, ce n’è abbastanza per rimanere
ammaliati e ammirati sia della Natura che di coloro che sono
riusciti a esprimerle in termini matematici. L’articolo è
decisamente lungo, anche se l’argomento è stato solo sfiorato.
Sbocconcellatelo lentamente durante le Feste…
Una trottola che non cade mai */**/*** - Tutti avranno sentito parlare di precessione almeno una volta. Essa viene citata sia quando di parla di spostamento della stella polare come indicatrice della direzione del polo nord sia quando si discute sul cambiamento delle costellazioni dello zodiaco sia, a volte, delle coordinate delle stelle. In qualche modo si parla di precessione solo per i suoi effetti, ma non riguardo alla sua vera ragione fisica. Eppure, la osserviamo sempre quando facciamo girare una trottola e i telescopi spaziali non potrebbero puntare esattamente gli oggetti celesti senza “trottole” molto speciali.
Sincrotrone? Chi è “costui”? *** - Un nome sicuramente affascinante: radiazione di sincrotrone. Già a pronunciare questa parola uno si sente mezzo scienziato. Oltretutto, se ne sente parlare quando si descrivono le apparecchiature più sofisticate per lo studio della fisica nucleare, come gli acceleratori di particelle. Deve sicuramente essere qualcosa di veramente importante. Tuttavia, non è un’invenzione dell’uomo, ma della Natura e le stelle ci mostrano di saperla produrre in moltissimi casi. Se per l’uomo può a volte essere un “fastidio”, per gli astri è uno dei più evidenti segnali che inviano all’Universo. Cercherò di descrivere questo fenomeno in modo molto semplificato e intuitivo. Non pretendete troppo, però…
Satellite o anello? Chiedetelo a Roche! *** - Il Sig. Roche, tra le tante cose fatte, ha avuto anche due bellissime idee che hanno condotto al lobo e al limite che portano il suo nome. Non hanno, però, niente in comune. Questo articolo vuole dedurre matematicamente il limite di Roche, quello che decide se un satellite si può trasformare in un bellissimo anello. Vedremo anche se Saturno ha seguito questa regola.
Questa o quella per me pari NON sono: il principio d’indeterminazione di Heisenberg ** - Non spaventatevi o non illudetevi: non voglio parlare di musica lirica e nemmeno del Rigoletto. Voglio solo tornare sulla meccanica quantistica. Un’ovvia conseguenza dell’esperimento della doppia fenditura, ossia dell’accertata strana natura delle particelle che possono assumere il comportamento di onde ma anche quello di corpuscoli ben definiti, è senza dubbio il principio di indeterminazione di Heisenberg. Lo voglio affrontare a parole, come si fa quasi sempre, ma anche -e soprattutto- con un’esperienza diretta che è una semplice appendice di quella di Feynman già ampiamente trattata e sviscerata. Vedremo anche che i concetti imparati sul limite, sullo zero e infinito, sul paradosso di Zenone, sugli intervalli “finiti” tipici della fisica, ecc., avranno un’applicazione molto “pratica”.
Volete vedere un buco nero? Andate nel Golfo del Messico ** - Per assistere agli effetti di un buco nero non c’è bisogno di spingersi nella profondità dello Spazio. Se ne possono vedere di analoghi cercando i grandi vortici marini. La matematica che li descrive è estremamente simile.
Coloriamo il mondo ** - I colori: che meraviglia! Ma cosa sono realmente? Parliamone un po’, unendo fisiologia dell’occhio, ottica fisica e pittura. Scommettiamo che troveremo informazioni poco conosciute? Senza parlare di meccanica quantistica e di origine dell’Universo, la Natura, anche quella più vicina a noi, può sempre stupire.